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Wednesday, 08 February 2012 |
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Duffie, D., and K., Singleton (1999) a : “Modelling the Term Structure of Defaultable Bonds”, Review |
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Sunday, 20 February 2005 |
Duffie-Singleton (1999a) suivent la même méthode que dans leur article de 1997 pour modéliser la structure par terme des obligations exposées au risque de défaut. Ils montrent[1] qu'un titre exposé au risque de défaut versant X en T peut être valorisé comme s'il était sans risque de défaut, en remplaçant le processus rt du taux sans risque par le processus Rt = rt + ht.Lt pour actualiser les flux (le terme lt présent dans leur article de 1997 sur les swaps disparaît puisqu'ils étudient des obligations).
Donc sous certaines conditions, la valeur de marché initiale du produit versant X en T est :
,
où est l'espérance conditionnelle en 0 pour la probabilité risque-neutre.
Actualiser au taux ajusté Rt, intègre à la fois la probabilité et le temps de défaut, ainsi que la perte en cas de défaut[2]. L'hypothèse que le taux de défaut et la perte en cas de défaut soient exogènes, i.e. ne dépendent pas de la valeur Vt de l'actif lui même, est typique des modèles à forme réduite. Cependant, dans certains cas, cette hypothèse d'exogénéité s'oppose aux faits. Par exemple, ht dépend de Vt dans le cas de swap avec une qualité de crédit différente selon la contrepartie[3]. Duffie et Singleton étendent leur étude au cas de (ht , Lt ) dépendant de Vt. Ils montrent que l'hypothèse d'absence d'opportunité d'arbitrage implique que Vt est la solution d'une équation différentielle partielle non linéaire. Cette dépendance non linéaire du prix sur les flux contractuels, entraîne que la valeur d'une obligation à coupons n'est pas simplement la somme des prix estimés par le modèle correspondants aux différents flux. Ils discutent également des conséquences pratiques de la modélisation du recouvrement : en particulier leur choix de Lt comme fraction de la valeur de marché du contrat perdue lors du défaut, au lieu de Lt comme fraction de la valeur nominale du contrat perdue lors du défaut.
Ils indiquent que la seule connaissance des prix des obligations ne permet pas d'identifier séparément ht et Lt, car ht et Lt interviennent dans Rt sous la forme de leur produit ht.Lt (le taux de perte moyen). Au mieux, on peut en extraire une information sur ht.Lt. Pour mieux connaître ht et Lt individuellement, il faudrait par exemple examiner des produits dérivés dont les flux dépendent différemment de ht et Lt.
Ils appliquent leur modèle à la valorisation d'une option put sur le spread de crédit d'une obligation, en permettant que le taux sans risque rt et le taux de défaut ht soient corrélés. La dépendance non linéaire des flux de l'option en ht et Lt, implique que ht et Lt sont séparément identifiés à partir des données des prix des options.
[1] Supposons que dans un intervalle Dt, la firme ait une probabilité risque neutre h.Dt de faire défaut avec un taux de récupération risque neutre (1-L), alors le taux d'actualisation approprié R.Dt doit satisfaire : i.e. . Et . [2] Pye (1974) est un précurseur de cette approche, en posant un modèle en temps discret où le taux d'intérêt, les probabilités de défaut et les spreads de crédit sont déterministes. Cf. G. Pye (1974) : « Gauging the Default Premium », Financial Analyst's Journal, Jan-Feb, 49-50. [3] Cf. Duffie-Singleton (1997). |
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Thesis